Расширенное пространство (часть первая)

Кванты пространства

Наше пространство определяется гравитационными полями. Если говорить  упрощенно,  материальные объекты и/или огромные энергии образуют  гравитационные поля, ту арену  на которой живут  Галактики, звезды, планеты и где начинают работать физические Законы нашего Мира.  И галактики и законы наблюдаются в макроскопических размерах, а для их описания мы используем  привычные  архимедовые метрики. На гравитационных полях  «живут» оставшиеся поля:  электромагнитными, слабые и сильные, со всей своей архитектурой. По сути дела «наш»  мир это гравитационное поле, а вся остальная материя и остальные взаимодействия это колебаний разных частей этого поля.

 В микромире, на “планковских” масштабах пространство начинает проявлять свою  квантовую сущность. Идея квантов пространства наиболее полно описывается теорией петлевой квантовой гравитации (ПКГ) успешно развиваемой К. Ровелли и К⁰[1]. Проводя аналогию между электромагнитным и гравитационным полем, он пишет «..ключевое различие между фотонами (квантами электромагнитного поля) и …квантами гравитации состоит в том, что фотоны существуют в пространстве, тогда как кванты гравитации представляют собой само пространство. Фотоны характеризуются местом, «где они находятся». Кванты пространства не имеют места, где они могут находиться, поскольку они сами являются местом ».

Сам Ровелли с осторожностью относится к кванту пространства,  например, в качестве кванта им приводится fuzzy-обьект без всякой деталировки (левая, нижняя часть рисунка 1). Вместо этого вводится  аналог силовых линий в виде спиновых сетей с узлами на квантах и определяя  квантовые операторы в гильбертовом пространстве от  площадей и объемов через переменные  Аштекара [2], строится геометрия дискретного квантового пространства и его гравитационные искривления*.

Основная задумка К. Ровелли и К⁰ проста и сводится к двум последовательным вещам, сначала вводятся кванты пространства, спин-сети и спин пена, затем в этом новом формализме  с помощью специальных переменных  определяются уравнения Эйнштейна и уравнения Шредингера, с надеждой что теперь ОТО и квантовая физика уживутся вместе.

1.     Дискретность пространства-времени, спин-сети и спин-пена: В теории петлевой квантовой гравитации геометрия пространства квантуется, поэтому операторы, такие как площадь и объем, обзаводятся дискретными спектрами значений в терминах переменных  Аштекара . Например,  8πγl_p²  является минимальной площадью, а минимальным объемом будет величина

Рисунок дает представление о квантовой структуре пространства, спиновой сети,  дискретном спектре площадей  и объемов   и  о спиновых числах j(1/2,3/2,5/2…), ассоциированных с ребрами спин сети.

Спин-сеть (правая часть рисунка) представляет собой граф из узлов и рёбер, где рёбра помечены спиновыми числами, соответствующими представлениям группы SU(2), а узлы связаны этими рёбрами и характеризуются соответственно объемами  v₁ (тетраэдр V₁V₂AB), V₂(тетраэдр V₂V₁AC),….**. По сути дела квантование пространства в  ПКГ это обычная триангуляция, хотя фактически спин-сети описывают квантовые состояния геометрии пространства. Для этого вводится понятие петли — замкнутого контура, охватывающего рассматриваемую область. Понятие петли ключевое в данной теории. Не смотря на простоту определения и интуитивную геометрическую интерпретацию, она несет глубокое внутреннее содержание и является основным конструктом. В этом смысле она похожа на струну из одноименной теории, но петле не требуется непрерывный, да и вообще любой  задний фон в виде несущего пространства. В ПКГ  петли цепляясь друг за друга сами образуют ткань пространства, одновременно представляя локальный базис .

Именно поэтому, в ПКГ кванты пространства сами по себе перестают играть особую роль, вся теория начинает фокусироваться на петлях, на их сочетаниях, на геометрии и топологии петлевого пространства. Повторим, что  спиновые числа у спиновой сети  имеют как геометрический, так и физический смысл. Геометрически они определяют дискретные значения площадей и объемов в квантованном пространстве. Физически они представляют квантовые состояния элементарных единиц пространства и играют ключевую роль в описании квантовых взаимодействий и информации в квантовой теории гравитации. На рисунке 2 кольчужные кольца входят в зацепления, образуя железную ткань кольчуги,  также же и в ПКГ петли, представляющие  замкнутый путь из последовательных ребер,  пересекаются в вершинах спиновой сети, образуя ткань пространства. И в первом и втором случае математики углядят в них Бэровские  множества. Это означает, что не смотря ни на какие ухищрения и лазейки, сами петли не позволят построить ни меру, ни компакты, ни объемные интегралы, и следовательно, никакую содержательную теорию. Отцы-основатели  теории ловко уходили от этих вопросов, вводя и площади и объемы через  прямые произведения планковских длин с образованием двух и трех измерений:

  l_p х l_{p =} l_p² (S)              и             l_p х l_p х l_{p =} l_p³  (V),

используя архимедову метрику, тем самым оставляя открытыми вопросы ее введения и проблемы с размерностями.  Как же фактически решаются эти проблемы? Частично с помощью спин-пены, частично с помощью плотности в переменных  Аштекара , частично понятиями, привнесенными из уравнений Эйнштейна и Шредингера, но об этом дальше**. А пока все творцы ПКГ, вводя спиновые сети , «держат» в уме и левую и центральную часть рисунка 1. Итак,  квантовое состояние области-пространства описывается окружающим его набором петель или попросту спин-сетью. Чем гуще в области спиновая сеть, тем большее искривление пространства зафиксируется переменными  Аштекара  – так же как в теории  Эйнштейна.

Спин-пены представляют собой 4-мерные структуры, описывающие эволюцию 3-х мерных спин-сеток во времени. Спин-пена, связывает начальное и конечное состояние ячеек спин-сети через двумерные поверхности, «образуя» систему призменно-пирамидальных симплексов, и используется для описания динамики квантового гравитационного поля (средняя часть рисунка 3).

Спин-пена представляет аналог 4-х мерного пространства времени в теории Эйнштейна. Проведя аппроксимацию пространства с помощью спин-сети, в ПТК с помощью спин-пены  реализуется аналог пространственно-временного интервала из ОТО, причем «ответственным» за эволюцию узлов (нижняя левая часть рис. 3) «назначаются»  квантовые флуктуации, которые колеблют квантовую сеть. В понятии спин-пены важным вопросом является проблема времени. Первые уравнения еще не сложившейся до конца теории, полученные основателями  Уиллером и Девиттом привели всех в шок, они не содержали переменной, обозначающей время. Но решениями этих уравнений оказались наши пéтли. Пéтли долго не хотели рождать что то путное (то о чем говорилось выше), пока не были введены ребра и вершины. Круг  замкнулся, время стало изгоем в теории и его попытались выставить за дверь.  В одном из ранних постов говорилось, как и чем заменяется время, не будем останавливаться  на этом здесь. Заметим только, что Ровелли, скрепя сердцем ввел квантовое время в спин-пену, замаскировав его вероятностными характеристиками:  случайностью возникновения флуктуаций  и  феймановским суммированием по всевозможным путям между начальным и конечным состоянием спин-сети , что в конце – концов привело к истории спиновых сетей и пакетам. Вопрос с историей самый сомнительный во всей теории.  Это связано с тем, что фундаментальные ограничения приведенные в таблице, подсказаны нам самой природой,  и они должны использоваться в качестве основных постулатов в теории .

Время, как мы видим, в эту таблицу не входит.

1.     Петлевая квантовая гравитация, или петлевая теория, объединяет общую теорию относительности с квантовой механикой, она не вводит никаких других гипотез, кроме тех, которые содержатся в самих этих теориях, записывая их в совместимой для себя форме. Для этого ПТГ использует специальные переменные  Аштекара  — квантовые аналоги метрики и символов Кристофеля-Шварца в тензорах Риччи, а также  квантовые постулаты  в виде констрейнтов:

 

1.     Гауссовы констрейнты возникают из симметрий внутренней калибровочной группы (обычно SU(2)) в трёхмерной формулировке гравитации. Они обеспечивают локальную инвариантность теории относительно калибровочных преобразований, то есть обеспечивают сохранение внутренних калибровочных зарядов. Смысл этой инвариантности состоит в том, что в квантовых полях становится возможным определять переносчиков взаимодействий, другими словами бозоны: фотоны, глюоны и т.д. 

2.      Диффеоморфизные констрейнты обеспечивают инвариантность теории относительно пространственно-временных преобразований – трансляций и вращений. Смысл этой инвариантности состоит в том , что физические законы одинаковы в любой области нашего пространства. 

3.     Гамильтонианый констрейнт, записанный в терминах квантованных переменных  Аштекара   содержит информацию о материи , её взаимодействии с гравитацией, и по сути дела является аналогом уравнения Эйнштейна.

Заметим, что квантовые констрейнты переходят в классические констрейнты в пределе больших квантовых чисел, восстанавливая уравнения Эйнштейна в макромире, а классическая геометрия извлекается через собственные значения операторов площадей и объемов. А как в больших размерах реализуется непрерывность и гладкость самого пространства? Вот тут на  помощь приходят квантовые флуктуации. Запакованная в пакеты из спин-пены, быстрая череда рождений и исчезновений тетраэдных симплексов «заметает» объемы в пакете, что в больших числах формирует представление непрерывного монолитного трехмерного пространства. Также как если вы поставите монету ребром и щелчком раскрутите ее, никто издалека и не различит настоящий это шар или быстро вращающийся диск.

Самые главные достоинства теории  на сегодняшний момент это устранение сингулярностей, появляющихся в классических уравнениях Эйнштейна в планковских областях и введение квантов пространства.

В качестве бенефиса квантов пространства попытаемся по новому посмотреть на принцип Ферма и объяснить его используя спин-сети. Принцип Ферма (или Принцип наименьшего времени) — это фундаментальный принцип в оптике и теории волн, который гласит, что свет распространяется между двумя точками по такому пути, который требует минимального времени (почему свет такой умный, оставалось загадкой). Это означает, что из всех возможных путей, по которым может пройти световой луч, он выбирает тот, который обеспечивает наименьшее время прохождения.

Если n — показатель преломления, c — скорость света в вакууме, v — скорость света в данной среде, а d — расстояние, то время прохождения света между точками A и B минимально:

где n(s) — показатель преломления вдоль пути.

Принцип Ферма, изначально сформулированный для света, также применим к движению частиц в квантовой и классической механике. Он обобщается на более широкий Принцип наименьшего действия в физике, который гласит, что движение любой частицы происходит по траектории, минимизирующей действие, а именно интеграл Лагранжиана по времени. Этот принцип применим ко всем физическим системам и фундаментален для описания динамики в классической механике, квантовой механике и теории относительности.

В прошлом посту мы описывали движение частиц с помощью модифицированной теории Пилотной волны. Вкратце это выглядит так:  волна «бежит» от одних квантов пространства к другим в определенные моменты  передавая им закодированные данные о частице из своего волнового пакета.

Благодаря этим данным частица рождается на квантах пространства, и умирает, когда волна покидает эти кванты.

Движение волны может оказывать влияние на конфигурацию спин-сети, подвергая её определенной трансформации.

Возможна ли такая трансформация, и не разрушает ли она структуру решетки спин-сети? Изучение свойств классов решёток в терминах вложимости или невложимости некоторых конечных решёток   является классическим направлением в теории решёток. Сами понятия вложимости и невложимости решеток важны в теории порядка и алгебраических структурах. Они помогают определить, какие структуры могут быть интегрированы друг в друга, сохраняя при этом определенные свойства и операции.

Известным классическим результатом  является теорема Дедекинда [3], согласно которой решётка модулярна (частично упорядочена и подчиняется модулярному закону)  тогда и только тогда, когда она не содержит подрешётки, изоморфной решётке N5, см. рис. 4.

Другой результат в этом направлении даёт теорема Биркгофа [4], согласно которой решётка является дистрибутивной (еще один закон) тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток, изоморфных решёткам N5 и M3, см. рис. 1.

Нам удалось доказать теорему о том, что решетки на рис. 5 удовлетворяют необходимым требованиями и могут быть вложены в несущее многообразие

Удивительными свойствами данных решеток является их сколь угодно длинное продолжение, в отличии от известных классов конечных модулярных решеток.

Применяя доказанную теорему, можно утверждать, что Пилотные волны могут трансформировать спин-сеть согласно рис 6, конфигурируя узлы так, что распространяясь в плоском пространстве будет обеспечена имитация движения частицы вдоль прямой.

Очевидно,  что в искривленном пространстве аналогами прямых линий будут служить геодезические, поэтому теорема будет работать и в этом случае. Таким образом,  принцип Ферма, ранее принимавшийся как аксиома, находит свое естественное объяснение в рамках квантового пространства.

Заканчивая рассмотрение отметим, что  некоторые важные особенности  при построении теории ПКГ, дающие важные следствия,  ускользнули от разработчиков ***).

Литература:

1.     CARLO ROVELLI AND FRANCESCA VIDOTTO “Covariant Loop Quantum Gravity”

2.     А.Ашкетар  “New Variables for Classical and Quantum Gravity I” “Physical Review Letters” (том 57, номер 18, страницы 2244-2247) 1986 г

3.     R.Dedekind, ¨Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe, Math. Ann., 53, (1900),

4.     G. Birkhoff, On the structure of abstract algebras, Proc. Cambridge Philos. Soc., 31 (1935).

5 «Как устроен наш мир» https://habr.com/ru/articles/774930/

*) Поясним идею с помощью которой определяется искривление дискретного квантового пространства. Представьте себе, что вы находитесь на Северном полюсе и идете на юг, пока не достигнете экватора. При этом вы несете с собой стрелку, которая показывает вперед. Дойдя до экватора, вы поворачиваете налево, не меняя направление стрелки. Она по-прежнему показывает на юг, который теперь находится для вас справа. Пройдите немного на восток вдоль экватора, а затем поверните обратно на север, опять не меняя направление стрелки, которая теперь будет показывать назад.

Когда вы вернетесь на Северный полюс, ваш маршрут замкнется, образовав петлю, но стрелка уже не будет показывать в том же направлении, что и при старте (рис. 3). Угол, на который повернулась стрелка при обходе петли, служит мерой кривизны данного пространства.

 В теории ПКГ мы суммируем все петли в области , для которой мы хотим определить искривление,   выбирая спин-сеть (рисунок 1), представляющей квантовое состояние геометрии данной области  и ее эволюцию  с помощью спин пены, учитывая квантовые констрейнты.  Тогда окончательно кривизна  выразится через производные от коннекции  Аштекара :

 

**)  

В последнее время построение петлевой квантовой гравитации проводят как преобразование Уравнений Эйнштейна и Шредингера к переменным Аштекара, поэтому вопросы с размерностью стали неактуальны

***) уже рассмотренный принцип Ферма, а также минимальные пленочные поверхности на петлях , метод конечного элемента и барицентрические координаты для расчета влияний гравитации в малых областях.